Statistik & Zahlen · Kapitel 1 von 8
Die Standardabweichung als Maß der Streuung
Ein Mittelwert sagt nur, wo der typische Wert liegt. Erst die Standardabweichung verrät, wie eng oder weit die Werte um ihn herum streuen. Dieses Kapitel zeigt, warum ohne Streuungsmaß kein Einzelwert deutbar ist, was die 68-95-99-Regel bedeutet und weshalb die Standardabweichung die gemeinsame Maßeinheit aller Normskalen ist. Verändere zwei Verteilungen mit gleichem Mittelwert und beobachte, wie derselbe Rohwert je nach Streuung etwas völlig anderes bedeutet.
Der Mittelwert allein genügt nicht
Ein Mittelwert sagt, wo der typische Wert liegt. Er verrät aber nicht, wie eng oder weit die Werte um diesen typischen Wert herum verteilt sind. Zwei Gruppen können denselben Mittelwert haben und trotzdem völlig verschieden sein.
Mittelwert 50, SD 3
Eine homogene Lerngruppe. Fast alle liegen dicht beim Mittel, Unterschiede sind klein.
Mittelwert 50, SD 15
Eine extrem heterogene Lerngruppe. Derselbe Mittelwert, aber die Werte streuen weit auseinander.
Der Mittelwert verdeckt diesen Unterschied vollständig. Erst die Standardabweichung macht ihn sichtbar.
Was die Standardabweichung misst
Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz. Die Varianz ist der mittlere quadrierte Abstand jedes Wertes vom Mittelwert. Die Quadrierung sorgt dafür, dass sich positive und negative Abweichungen nicht gegeneinander aufheben. Die Wurzel bringt das Maß zurück auf die Skala der Originalwerte.
Eine SD von 10 Punkten heißt also: Typische Abweichungen vom Mittel liegen in der Größenordnung von rund 10 Punkten.
Einfach erklärt
Die 68-95-99-Regel
In einer normalverteilten Gruppe liegen rund 68 Prozent der Werte im Bereich Mittelwert ± 1 SD, rund 95 Prozent im Bereich ± 2 SD und rund 99 Prozent im Bereich ± 3 SD. Diese drei Zahlen sind das Skelett jeder weiteren psychometrischen Argumentation.
der Werte liegen hier.
der Werte liegen hier.
der Werte liegen hier.
Gleicher Mittelwert, verschiedene Streuung
Beide Kurven haben denselben Mittelwert. Verändere die beiden Standardabweichungen und beobachte, wie die schmale Verteilung sich konzentriert und die breite sich ausdehnt. Zeichne einen Wert ein und sieh, wie unterschiedlich derselbe Rohwert in beiden Gruppen liegt.
- Mittelwert
- 50
- Standardabweichung
- 5,0
- ± 1 SD (68 %)
- 45,0 bis 55,0
- ± 2 SD (95 %)
- 40,0 bis 60,0
- Mittelwert
- 50
- Standardabweichung
- 15,0
- ± 1 SD (68 %)
- 35,0 bis 65,0
- ± 2 SD (95 %)
- 20,0 bis 80,0
Zeichne einen Wert von 60 ein und lass beide SDs auf 5 und 15 stehen: In der schmalen Verteilung A liegt er zwei Standardabweichungen über dem Mittel, also bei rund Prozentrang 98. In der breiten Verteilung B sind es nur etwa zwei Drittel einer Standardabweichung, also rund Prozentrang 75. Derselbe Rohwert, völlig unterschiedliche Bedeutung.
Aus der Praxis
Jede Norm-Aussage ist ohne Angabe der Standardabweichung wertlos. „60 Punkte" heißt erst dann etwas, wenn man weiß, wie breit die Vergleichsgruppe streut.
Die Standardabweichung ist die Sprache aller Skalen
Sobald „eine Standardabweichung über dem Mittel" als universelle Sprache verstanden ist, wird der Rest der Sektion leicht. T-Werte und IQ-Skalen sind nichts als Reskalierungen, bei denen Mittelwert und SD auf feste Werte gesetzt werden.
1 SD über Mittel = T 60.
1 SD über Mittel = IQ 115.
Streuung der Werte um den wahren Wert.
Auch der Standardmessfehler ist eine Standardabweichung, nämlich die der Messfehler. Und das Konfidenzintervall ist nichts als z · SE, also ein Vielfaches einer Standardabweichung. Damit beschreibt die SD nicht nur die Streuung von Gruppen, sondern auch die Unsicherheit über eine einzelne Person. Diese Doppelrolle ist die Brücke zur Reliabilität.
Ohne ein Maß für Streuung trägt kein Einzelwert eine Bedeutung.
Die Standardabweichung macht aus einem nackten Rohwert eine Position: so viele Standardabweichungen vom Mittel entfernt. Sie ist die gemeinsame Einheit, in der Normwerte, Messfehler und Konfidenzintervalle gerechnet werden.